Integrate2
Integrate2
is like Integrate
, but Integrate2[a_Plus, b__] := Map[Integrate2[#, b]&, a]
( more linear algebra and partial fraction decomposition is done)
Integrate2[f[x] DeltaFunction[x], x] -> f[0]
Integrate2[f[x] DeltaFunction[x0-x], x] -> f[x0]
Integrate2[f[x] DeltaFunction[a + b x], x] -> Integrate[f[x] (1/Abs[b]) DeltaFunction[a/b + x], x]
, where Abs[b] -> b
, if b
is a symbol, and if b = -c
, then Abs[-c] -> c
, i.e., the variable contained in b
is supposed to be positive.
π 2 \pi ^2 π 2 is replaced by 6 Zeta2
.
Integrate2[1/(1-y),{y,x,1}]
is interpreted as distribution, i.e. as Integrate2[-1/(1-y)],{y, 0, x}] -> Log[1-y]
.
Integrate2[1/(1-x),{x,0,1}] -> 0
Since Integrate2
does do a reordering and partial fraction decomposition before calling the integral table of Integrate3
, it will in general be slower compared to Integrate3 for sums of integrals. I.e., if the integrand has already an expanded form and if partial fraction decomposition is not necessary it is more effective to use Integrate3
.
See also
Overview , DeltaFunction , Integrate3 , Integrate5 , SumS , SumT .
Examples
Integrate2[ Log [ 1 + x ] Log [ x ] / (1 - x ), { x , 0 , 1 }] // Timing
{ 0.057955 , ζ ( 3 ) − 3 2 ζ ( 2 ) log ( 2 ) } \left\{0.057955,\zeta (3)-\frac{3}{2} \zeta (2) \log (2)\right\} { 0.057955 , ζ ( 3 ) − 2 3 ζ ( 2 ) log ( 2 ) }
Since Integrate2
uses table-look-up methods it is much faster than Mathematica’s Integrate.
Integrate2[ PolyLog [ 2 , x ^ 2 ], { x , 0 , 1 }]
ζ ( 2 ) − 4 + 4 log ( 2 ) \zeta (2)-4+4 \log (2) ζ ( 2 ) − 4 + 4 log ( 2 )
Integrate2[ PolyLog [ 3 , - x ], { x , 0 , 1 }]
ζ ( 2 ) 2 − 3 ζ ( 3 ) 4 + 1 − 2 log ( 2 ) \frac{\zeta (2)}{2}-\frac{3 \zeta (3)}{4}+1-2 \log (2) 2 ζ ( 2 ) − 4 3 ζ ( 3 ) + 1 − 2 log ( 2 )
Integrate2[ PolyLog [ 3 , 1 / (1 + x )], { x , 0 , 1 }]
ζ ( 2 ) ( − log ( 2 ) ) + 3 ζ ( 3 ) 4 + log 3 ( 2 ) 3 − log 2 ( 2 ) + 2 log ( 2 ) \zeta (2) (-\log (2))+\frac{3 \zeta (3)}{4}+\frac{\log ^3(2)}{3}-\log ^2(2)+2 \log (2) ζ ( 2 ) ( − log ( 2 )) + 4 3 ζ ( 3 ) + 3 log 3 ( 2 ) − log 2 ( 2 ) + 2 log ( 2 )
Integrate2[ DeltaFunction[ 1 - x ] f [ x ], { x , 0 , 1 }]
f ( 1 ) f(1) f ( 1 )
Integrate2
does integration in a Hadamard sense, i.e., ∫ 0 1 f ( x ) d x \int _0^1 \, f(x) \, d x ∫ 0 1 f ( x ) d x means actually expanding the result of ∫ δ 1 − δ f ( x ) d x \int _{\delta }^{1-\delta} \, f(x) \, dx ∫ δ 1 − δ f ( x ) d x up to O ( δ ) \mathcal{O}(\delta ) O ( δ ) and neglecting all δ \delta δ -dependent terms. E.g. ∫ δ 1 − δ 1 1 − x d x = − log ( 1 − x ) ∣ δ 1 − δ = − log ( δ ) + l o g ( 1 ) ⇒ 0 \int_{\delta }^{1-\delta} \frac{1}{1-x} \, d x = - \log (1-x) \biggl |_{\delta }^{1-\delta } = -\log (\delta )+log (1) \Rightarrow 0 ∫ δ 1 − δ 1 − x 1 d x = − log ( 1 − x ) δ 1 − δ = − log ( δ ) + l o g ( 1 ) ⇒ 0
Integrate2[ 1 / (1 - x ), { x , 0 , 1 }]
0 0 0
In the physics literature sometimes the “+” notation is used. In FeynCalc the ( f r a c 1 1 − x ) + \left(frac{1}{1-x} \right)_{+} ( f r a c 1 1 − x ) + is represented by PlusDistribution}[1/(1-x)]
or just 1/(1-x)
Integrate2[ PlusDistribution[ 1 / (1 - x )], { x , 0 , 1 }]
0 0 0
Integrate2[ PolyLog [ 2 , 1 - x ] / (1 - x )^ 2 , { x , 0 , 1 }]
2 − ζ ( 2 ) 2-\zeta (2) 2 − ζ ( 2 )
Integrate2[ (Log [ x ] Log [ 1 + x ] )/ (1 + x ), { x , 0 , 1 }]
− ζ ( 3 ) 8 -\frac{\zeta (3)}{8} − 8 ζ ( 3 )
Integrate2[ Log [ x ] ^ 2 / (1 - x ), { x , 0 , 1 }]
2 ζ ( 3 ) 2 \zeta (3) 2 ζ ( 3 )
Integrate2[ PolyLog [ 2 , - x ] / (1 + x ), { x , 0 , 1 }]
ζ ( 3 ) 4 − 1 2 ζ ( 2 ) log ( 2 ) \frac{\zeta (3)}{4}-\frac{1}{2} \zeta (2) \log (2) 4 ζ ( 3 ) − 2 1 ζ ( 2 ) log ( 2 )
Integrate2[ Log [ x ] PolyLog [ 2 , x ], { x , 0 , 1 }]
3 − 2 ζ ( 2 ) 3-2 \zeta (2) 3 − 2 ζ ( 2 )
Integrate2[ x PolyLog [ 3 , x ], { x , 0 , 1 }]
− ζ ( 2 ) 4 + ζ ( 3 ) 2 + 3 16 -\frac{\zeta (2)}{4}+\frac{\zeta (3)}{2}+\frac{3}{16} − 4 ζ ( 2 ) + 2 ζ ( 3 ) + 16 3
Integrate2[ (Log [ x ] ^ 2 Log [ 1 - x ] )/ (1 + x ), { x , 0 , 1 }]
ζ ( 4 ) + ζ ( 2 ) log 2 ( 2 ) − 4 Li 4 ( 1 2 ) − log 4 ( 2 ) 6 \zeta (4)+\zeta (2) \log ^2(2)-4 \;\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{\log ^4(2)}{6} ζ ( 4 ) + ζ ( 2 ) log 2 ( 2 ) − 4 Li 4 ( 2 1 ) − 6 log 4 ( 2 )
Integrate2[ PolyLog [ 2 , ((x (1 - z ) + z ) (1 - x + x z ))/ z ] / (1 - x + x z ), { x , 0 , 1 }]
2 i π Li 2 ( − z ) 1 − z − 4 Li 3 ( 1 − z 2 ) 1 − z + 4 Li 3 ( 1 − z ) 1 − z + 2 Li 3 ( − z ) 1 − z + 4 Li 3 ( 1 z + 1 ) 1 − z − 4 Li 3 ( 1 − z z + 1 ) 1 − z − 4 Li 3 ( z + 1 2 ) 1 − z − 2 Li 2 ( 1 − z ) log ( z ) 1 − z − 2 Li 2 ( − z ) log ( z ) 1 − z + 4 Li 2 ( − z ) log ( 1 − z ) 1 − z − 2 S 12 ( 1 − z ) 1 − z + i π ζ ( 2 ) 1 − z − ζ ( 2 ) log ( z ) 1 − z + 2 ζ ( 2 ) log ( 1 − z ) 1 − z + 6 ζ ( 2 ) log ( z + 1 ) 1 − z − 4 ζ ( 2 ) log ( 2 ) 1 − z + 2 ζ ( 3 ) 1 − z + log 3 ( z ) 6 ( 1 − z ) + 4 log 3 ( 2 ) 3 ( 1 − z ) − log ( 1 − z ) log 2 ( z ) 1 − z − log ( z + 1 ) log 2 ( z ) 1 − z − i π log 2 ( z ) 2 ( 1 − z ) − 2 log ( 1 − z ) log 2 ( z + 1 ) 1 − z − 2 log 2 ( 2 ) log ( 1 − z ) 1 − z − 2 log 2 ( 2 ) log ( z + 1 ) 1 − z + 4 log ( 1 − z ) log ( z + 1 ) log ( z ) 1 − z + 2 i π log ( z + 1 ) log ( z ) 1 − z + 4 log ( 2 ) log ( 1 − z ) log ( z + 1 ) 1 − z \frac{2 i \pi \;\text{Li}_2(-z)}{1-z}-\frac{4 \;\text{Li}_3\left(\frac{1-z}{2}\right)}{1-z}+\frac{4 \;\text{Li}_3(1-z)}{1-z}+\frac{2 \;\text{Li}_3(-z)}{1-z}+\frac{4 \;\text{Li}_3\left(\frac{1}{z+1}\right)}{1-z}-\frac{4 \;\text{Li}_3\left(\frac{1-z}{z+1}\right)}{1-z}-\frac{4 \;\text{Li}_3\left(\frac{z+1}{2}\right)}{1-z}-\frac{2 \;\text{Li}_2(1-z) \log (z)}{1-z}-\frac{2 \;\text{Li}_2(-z) \log (z)}{1-z}+\frac{4 \;\text{Li}_2(-z) \log (1-z)}{1-z}-\frac{2 S_{12}(1-z)}{1-z}+\frac{i \pi \zeta (2)}{1-z}-\frac{\zeta (2) \log (z)}{1-z}+\frac{2 \zeta (2) \log (1-z)}{1-z}+\frac{6 \zeta (2) \log (z+1)}{1-z}-\frac{4 \zeta (2) \log (2)}{1-z}+\frac{2 \zeta (3)}{1-z}+\frac{\log ^3(z)}{6 (1-z)}+\frac{4 \log ^3(2)}{3 (1-z)}-\frac{\log (1-z) \log ^2(z)}{1-z}-\frac{\log (z+1) \log ^2(z)}{1-z}-\frac{i \pi \log ^2(z)}{2 (1-z)}-\frac{2 \log (1-z) \log ^2(z+1)}{1-z}-\frac{2 \log ^2(2) \log (1-z)}{1-z}-\frac{2 \log ^2(2) \log (z+1)}{1-z}+\frac{4 \log (1-z) \log (z+1) \log (z)}{1-z}+\frac{2 i \pi \log (z+1) \log (z)}{1-z}+\frac{4 \log (2) \log (1-z) \log (z+1)}{1-z} 1 − z 2 iπ Li 2 ( − z ) − 1 − z 4 Li 3 ( 2 1 − z ) + 1 − z 4 Li 3 ( 1 − z ) + 1 − z 2 Li 3 ( − z ) + 1 − z 4 Li 3 ( z + 1 1 ) − 1 − z 4 Li 3 ( z + 1 1 − z ) − 1 − z 4 Li 3 ( 2 z + 1 ) − 1 − z 2 Li 2 ( 1 − z ) log ( z ) − 1 − z 2 Li 2 ( − z ) log ( z ) + 1 − z 4 Li 2 ( − z ) log ( 1 − z ) − 1 − z 2 S 12 ( 1 − z ) + 1 − z iπ ζ ( 2 ) − 1 − z ζ ( 2 ) log ( z ) + 1 − z 2 ζ ( 2 ) log ( 1 − z ) + 1 − z 6 ζ ( 2 ) log ( z + 1 ) − 1 − z 4 ζ ( 2 ) log ( 2 ) + 1 − z 2 ζ ( 3 ) + 6 ( 1 − z ) log 3 ( z ) + 3 ( 1 − z ) 4 log 3 ( 2 ) − 1 − z log ( 1 − z ) log 2 ( z ) − 1 − z log ( z + 1 ) log 2 ( z ) − 2 ( 1 − z ) iπ log 2 ( z ) − 1 − z 2 log ( 1 − z ) log 2 ( z + 1 ) − 1 − z 2 log 2 ( 2 ) log ( 1 − z ) − 1 − z 2 log 2 ( 2 ) log ( z + 1 ) + 1 − z 4 log ( 1 − z ) log ( z + 1 ) log ( z ) + 1 − z 2 iπ log ( z + 1 ) log ( z ) + 1 − z 4 log ( 2 ) log ( 1 − z ) log ( z + 1 )
Apart [ Integrate2[ x ^ (OPEm - 1 ) PolyLog [ 3 , 1 - x ], { x , 0 , 1 }], OPEm]
− ζ ( 2 ) m 2 − ζ ( 2 ) m − 1 + ζ ( 2 ) + ζ ( 2 ) ( − S 1 ( m − 2 ) ) + S 12 ( m ) + ζ ( 3 ) m -\frac{\zeta (2)}{m^2}-\frac{\zeta (2)}{m-1}+\frac{\zeta (2)+\zeta (2) \left(-S_1(m-2)\right)+S_{12}(m)+\zeta (3)}{m} − m 2 ζ ( 2 ) − m − 1 ζ ( 2 ) + m ζ ( 2 ) + ζ ( 2 ) ( − S 1 ( m − 2 ) ) + S 12 ( m ) + ζ ( 3 )
Integrate2[ x ^ (OPEm - 1 ) Log [ 1 - x ] Log [ x ] Log [ 1 + x ] / (1 + x ), { x , 0 , 1 }] // Simplify
% /. OPEm -> 2
N [ % ]
1 24 ( − 1 ) m ( 48 ζ ( 4 ) + 30 ζ ( 2 ) log 2 ( 2 ) + 6 ζ ( 2 ) S − 1 2 ( m − 1 ) + 18 ζ ( 2 ) S 2 ( m − 1 ) − 24 ζ ( 2 ) S 1 − 1 ( m − 1 ) − 12 S − 2 ( m − 1 ) ( ζ ( 2 ) − log ( 4 ) S − 1 ( m − 1 ) − log 2 ( 2 ) ) − 36 ζ ( 2 ) log ( 2 ) S 1 ( m − 1 ) + 12 S − 1 ( m − 1 ) ( ζ ( 2 ) log ( 8 ) − 2 ζ ( 3 ) ) + 39 ζ ( 3 ) S 1 ( m − 1 ) + 24 S − 2 − 1 − 1 ( m − 1 ) + 24 S − 1 − 2 − 1 ( m − 1 ) + 24 S − 1 − 1 − 2 ( m − 1 ) + 24 S 1 − 21 ( m − 1 ) + 24 S 1 − 12 ( m − 1 ) + 24 S 2 − 11 ( m − 1 ) − 12 log 2 ( 2 ) S 2 ( m − 1 ) + 24 log ( 2 ) S 3 ( m − 1 ) − 24 log ( 2 ) S − 21 ( m − 1 ) − 24 log ( 2 ) S − 12 ( m − 1 ) − 48 Li 4 ( 1 2 ) − 63 ζ ( 3 ) log ( 2 ) − 2 log 4 ( 2 ) ) \frac{1}{24} (-1)^m \left(48 \zeta (4)+30 \zeta (2) \log ^2(2)+6 \zeta (2) S_{-1}^2(m-1)+18 \zeta (2) S_2(m-1)-24 \zeta (2) S_{1-1}(m-1)-12 S_{-2}(m-1) \left(\zeta (2)-\log (4) S_{-1}(m-1)-\log ^2(2)\right)-36 \zeta (2) \log (2) S_1(m-1)+12 S_{-1}(m-1) (\zeta (2) \log (8)-2 \zeta (3))+39 \zeta (3) S_1(m-1)+24 S_{-2-1-1}(m-1)+24 S_{-1-2-1}(m-1)+24 S_{-1-1-2}(m-1)+24 S_{1-21}(m-1)+24 S_{1-12}(m-1)+24 S_{2-11}(m-1)-12 \log ^2(2) S_2(m-1)+24 \log (2) S_3(m-1)-24 \log (2) S_{-21}(m-1)-24 \log (2) S_{-12}(m-1)-48 \;\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)-63 \zeta (3) \log (2)-2 \log ^4(2)\right) 24 1 ( − 1 ) m ( 48 ζ ( 4 ) + 30 ζ ( 2 ) log 2 ( 2 ) + 6 ζ ( 2 ) S − 1 2 ( m − 1 ) + 18 ζ ( 2 ) S 2 ( m − 1 ) − 24 ζ ( 2 ) S 1 − 1 ( m − 1 ) − 12 S − 2 ( m − 1 ) ( ζ ( 2 ) − log ( 4 ) S − 1 ( m − 1 ) − log 2 ( 2 ) ) − 36 ζ ( 2 ) log ( 2 ) S 1 ( m − 1 ) + 12 S − 1 ( m − 1 ) ( ζ ( 2 ) log ( 8 ) − 2 ζ ( 3 )) + 39 ζ ( 3 ) S 1 ( m − 1 ) + 24 S − 2 − 1 − 1 ( m − 1 ) + 24 S − 1 − 2 − 1 ( m − 1 ) + 24 S − 1 − 1 − 2 ( m − 1 ) + 24 S 1 − 21 ( m − 1 ) + 24 S 1 − 12 ( m − 1 ) + 24 S 2 − 11 ( m − 1 ) − 12 log 2 ( 2 ) S 2 ( m − 1 ) + 24 log ( 2 ) S 3 ( m − 1 ) − 24 log ( 2 ) S − 21 ( m − 1 ) − 24 log ( 2 ) S − 12 ( m − 1 ) − 48 Li 4 ( 2 1 ) − 63 ζ ( 3 ) log ( 2 ) − 2 log 4 ( 2 ) )
1 24 ( 48 ζ ( 2 ) + 48 ζ ( 4 ) + 30 ζ ( 2 ) log 2 ( 2 ) + 12 ( ζ ( 2 ) − log 2 ( 2 ) + log ( 4 ) ) − 36 ζ ( 2 ) log ( 2 ) − 48 Li 4 ( 1 2 ) − 12 ( ζ ( 2 ) log ( 8 ) − 2 ζ ( 3 ) ) + 39 ζ ( 3 ) − 63 ζ ( 3 ) log ( 2 ) − 144 − 2 log 4 ( 2 ) − 12 log 2 ( 2 ) + 72 log ( 2 ) ) \frac{1}{24} \left(48 \zeta (2)+48 \zeta (4)+30 \zeta (2) \log ^2(2)+12 \left(\zeta (2)-\log ^2(2)+\log (4)\right)-36 \zeta (2) \log (2)-48 \;\text{Li}_4\left(\frac{1}{2}\right)-12 (\zeta (2) \log (8)-2 \zeta (3))+39 \zeta (3)-63 \zeta (3) \log (2)-144-2 \log ^4(2)-12 \log ^2(2)+72 \log (2)\right) 24 1 ( 48 ζ ( 2 ) + 48 ζ ( 4 ) + 30 ζ ( 2 ) log 2 ( 2 ) + 12 ( ζ ( 2 ) − log 2 ( 2 ) + log ( 4 ) ) − 36 ζ ( 2 ) log ( 2 ) − 48 Li 4 ( 2 1 ) − 12 ( ζ ( 2 ) log ( 8 ) − 2 ζ ( 3 )) + 39 ζ ( 3 ) − 63 ζ ( 3 ) log ( 2 ) − 144 − 2 log 4 ( 2 ) − 12 log 2 ( 2 ) + 72 log ( 2 ) )
0.0505138 0.0505138 0.0505138
Integrate2[ x ^ (OPEm - 1 ) (PolyLog [ 3 , (1 - x )/ (1 + x )] - PolyLog [ 3 , - ((1 - x )/ (1 + x ))] ), { x , 0 , 1 }]
3 ζ ( 2 ) ( − 1 ) m log ( 2 ) 2 m − 3 ζ ( 2 ) log ( 2 ) 2 m + ζ ( 2 ) ( − 1 ) m S − 1 ( m ) m − ζ ( 2 ) S − 1 ( m ) 2 m + ζ ( 2 ) ( − 1 ) m S 1 ( m ) 2 m − ζ ( 2 ) S 1 ( m ) m + ( − 1 ) m S − 3 ( m ) m + ( − 1 ) m S − 2 ( m ) S 1 ( m ) m + S 1 ( m ) S 2 ( m ) m + S 3 ( m ) m − ( − 1 ) m S − 21 ( m ) m − S − 1 − 2 ( m ) m − ( − 1 ) m S − 12 ( m ) m − S 21 ( m ) m − 7 ( − 1 ) m ζ ( 3 ) 8 m + 21 ζ ( 3 ) 8 m \frac{3 \zeta (2) (-1)^m \log (2)}{2 m}-\frac{3 \zeta (2) \log (2)}{2 m}+\frac{\zeta (2) (-1)^m S_{-1}(m)}{m}-\frac{\zeta (2) S_{-1}(m)}{2 m}+\frac{\zeta (2) (-1)^m S_1(m)}{2 m}-\frac{\zeta (2) S_1(m)}{m}+\frac{(-1)^m S_{-3}(m)}{m}+\frac{(-1)^m S_{-2}(m) S_1(m)}{m}+\frac{S_1(m) S_2(m)}{m}+\frac{S_3(m)}{m}-\frac{(-1)^m S_{-21}(m)}{m}-\frac{S_{-1-2}(m)}{m}-\frac{(-1)^m S_{-12}(m)}{m}-\frac{S_{21}(m)}{m}-\frac{7 (-1)^m \zeta (3)}{8 m}+\frac{21 \zeta (3)}{8 m} 2 m 3 ζ ( 2 ) ( − 1 ) m log ( 2 ) − 2 m 3 ζ ( 2 ) log ( 2 ) + m ζ ( 2 ) ( − 1 ) m S − 1 ( m ) − 2 m ζ ( 2 ) S − 1 ( m ) + 2 m ζ ( 2 ) ( − 1 ) m S 1 ( m ) − m ζ ( 2 ) S 1 ( m ) + m ( − 1 ) m S − 3 ( m ) + m ( − 1 ) m S − 2 ( m ) S 1 ( m ) + m S 1 ( m ) S 2 ( m ) + m S 3 ( m ) − m ( − 1 ) m S − 21 ( m ) − m S − 1 − 2 ( m ) − m ( − 1 ) m S − 12 ( m ) − m S 21 ( m ) − 8 m 7 ( − 1 ) m ζ ( 3 ) + 8 m 21 ζ ( 3 )
DataType[ OPEm, PositiveInteger]
Integrate2[ x ^ (OPEm - 1 ) DeltaFunction[ 1 - x ], { x , 0 , 1 }]
True \text{True} True
1 1 1
This is the polarized non-singlet spin splitting function whose first moment vanishes.
t = SplittingFunction[ PQQNS] /. FCGV[ z_ ] :> ToExpression [ z ]
− 8 C F ( C F − C A 2 ) ( ( x 2 + 1 ) ( − 2 ζ ( 2 ) − 4 Li 2 ( − x ) + log 2 ( x ) − 4 log ( x + 1 ) log ( x ) ) x + 1 + 4 ( 1 − x ) + 2 ( x + 1 ) log ( x ) ) + C A C F ( 4 ( x 2 + 1 ) log 2 ( x ) 1 − x + 8 ζ ( 2 ) ( x + 1 ) + ( 536 9 − 16 ζ ( 2 ) ) ( 1 1 − x ) + + δ ( 1 − x ) ( 88 ζ ( 2 ) 3 − 24 ζ ( 3 ) + 17 3 ) + 4 9 ( 53 − 187 x ) − 4 3 ( 5 x − 22 1 − x + 5 ) log ( x ) ) + C F N f ( − 8 ( x 2 + 1 ) log ( x ) 3 ( 1 − x ) + ( − 16 ζ ( 2 ) 3 − 2 3 ) δ ( 1 − x ) + 88 x 9 − 80 9 ( 1 1 − x ) + − 8 9 ) + C F 2 ( − 16 ( x 2 + 1 ) log ( 1 − x ) log ( x ) 1 − x + δ ( 1 − x ) ( − 24 ζ ( 2 ) + 48 ζ ( 3 ) + 3 ) − 40 ( 1 − x ) − 4 ( x + 1 ) log 2 ( x ) − 8 ( 2 x + 3 1 − x ) log ( x ) ) -8 C_F \left(C_F-\frac{C_A}{2}\right) \left(\frac{\left(x^2+1\right) \left(-2 \zeta (2)-4 \;\text{Li}_2(-x)+\log ^2(x)-4 \log (x+1) \log (x)\right)}{x+1}+4 (1-x)+2 (x+1) \log (x)\right)+C_A C_F \left(\frac{4 \left(x^2+1\right) \log ^2(x)}{1-x}+8 \zeta (2) (x+1)+\left(\frac{536}{9}-16 \zeta (2)\right) \left(\frac{1}{1-x}\right)_++\delta (1-x) \left(\frac{88 \zeta (2)}{3}-24 \zeta (3)+\frac{17}{3}\right)+\frac{4}{9} (53-187 x)-\frac{4}{3} \left(5 x-\frac{22}{1-x}+5\right) \log (x)\right)+C_F N_f \left(-\frac{8 \left(x^2+1\right) \log (x)}{3 (1-x)}+\left(-\frac{16 \zeta (2)}{3}-\frac{2}{3}\right) \delta (1-x)+\frac{88 x}{9}-\frac{80}{9} \left(\frac{1}{1-x}\right)_+-\frac{8}{9}\right)+C_F^2 \left(-\frac{16 \left(x^2+1\right) \log (1-x) \log (x)}{1-x}+\delta (1-x) (-24 \zeta (2)+48 \zeta (3)+3)-40 (1-x)-4 (x+1) \log ^2(x)-8 \left(2 x+\frac{3}{1-x}\right) \log (x)\right) − 8 C F ( C F − 2 C A ) ( x + 1 ( x 2 + 1 ) ( − 2 ζ ( 2 ) − 4 Li 2 ( − x ) + log 2 ( x ) − 4 log ( x + 1 ) log ( x ) ) + 4 ( 1 − x ) + 2 ( x + 1 ) log ( x ) ) + C A C F ( 1 − x 4 ( x 2 + 1 ) log 2 ( x ) + 8 ζ ( 2 ) ( x + 1 ) + ( 9 536 − 16 ζ ( 2 ) ) ( 1 − x 1 ) + + δ ( 1 − x ) ( 3 88 ζ ( 2 ) − 24 ζ ( 3 ) + 3 17 ) + 9 4 ( 53 − 187 x ) − 3 4 ( 5 x − 1 − x 22 + 5 ) log ( x ) ) + C F N f ( − 3 ( 1 − x ) 8 ( x 2 + 1 ) log ( x ) + ( − 3 16 ζ ( 2 ) − 3 2 ) δ ( 1 − x ) + 9 88 x − 9 80 ( 1 − x 1 ) + − 9 8 ) + C F 2 ( − 1 − x 16 ( x 2 + 1 ) log ( 1 − x ) log ( x ) + δ ( 1 − x ) ( − 24 ζ ( 2 ) + 48 ζ ( 3 ) + 3 ) − 40 ( 1 − x ) − 4 ( x + 1 ) log 2 ( x ) − 8 ( 2 x + 1 − x 3 ) log ( x ) )
8 ζ ( 2 ) C A C F − 16 x 2 C A C F Li 2 ( − x ) x + 1 − 16 C A C F Li 2 ( − x ) x + 1 − 8 ζ ( 2 ) x 2 C A C F x + 1 + 4 x 2 C A C F log 2 ( x ) 1 − x + 4 x 2 C A C F log 2 ( x ) x + 1 − 16 x 2 C A C F log ( x ) log ( x + 1 ) x + 1 + 88 3 ζ ( 2 ) C A C F δ ( 1 − x ) + 17 3 C A C F δ ( 1 − x ) + 8 ζ ( 2 ) x C A C F − 8 ζ ( 2 ) C A C F x + 1 − 16 ζ ( 2 ) ( 1 1 − x ) + C A C F − 24 ζ ( 3 ) C A C F δ ( 1 − x ) − 892 9 x C A C F + 536 9 ( 1 1 − x ) + C A C F + 4 C A C F log 2 ( x ) 1 − x + 4 C A C F log 2 ( x ) x + 1 + 4 3 C A C F log ( x ) + 4 3 x C A C F log ( x ) + 88 C A C F log ( x ) 3 ( 1 − x ) − 16 C A C F log ( x ) log ( x + 1 ) x + 1 + 356 C A C F 9 − 8 x 2 C F N f log ( x ) 3 ( 1 − x ) − 16 3 ζ ( 2 ) C F N f δ ( 1 − x ) − 2 3 C F N f δ ( 1 − x ) + 88 9 x C F N f − 80 9 ( 1 1 − x ) + C F N f − 8 C F N f log ( x ) 3 ( 1 − x ) − 8 C F N f 9 + 32 x 2 C F 2 Li 2 ( − x ) x + 1 + 32 C F 2 Li 2 ( − x ) x + 1 + 16 ζ ( 2 ) x 2 C F 2 x + 1 − 8 x 2 C F 2 log 2 ( x ) x + 1 − 16 x 2 C F 2 log ( 1 − x ) log ( x ) 1 − x + 32 x 2 C F 2 log ( x ) log ( x + 1 ) x + 1 − 24 ζ ( 2 ) C F 2 δ ( 1 − x ) + 3 C F 2 δ ( 1 − x ) + 16 ζ ( 2 ) C F 2 x + 1 + 48 ζ ( 3 ) C F 2 δ ( 1 − x ) + 72 x C F 2 − 4 x C F 2 log 2 ( x ) − 8 C F 2 log 2 ( x ) x + 1 − 4 C F 2 log 2 ( x ) − 32 x C F 2 log ( x ) − 16 C F 2 log ( 1 − x ) log ( x ) 1 − x − 24 C F 2 log ( x ) 1 − x − 16 C F 2 log ( x ) + 32 C F 2 log ( x ) log ( x + 1 ) x + 1 − 72 C F 2 8 \zeta (2) C_A C_F-\frac{16 x^2 C_A C_F \;\text{Li}_2(-x)}{x+1}-\frac{16 C_A C_F \;\text{Li}_2(-x)}{x+1}-\frac{8 \zeta (2) x^2 C_A C_F}{x+1}+\frac{4 x^2 C_A C_F \log ^2(x)}{1-x}+\frac{4 x^2 C_A C_F \log ^2(x)}{x+1}-\frac{16 x^2 C_A C_F \log (x) \log (x+1)}{x+1}+\frac{88}{3} \zeta (2) C_A C_F \delta (1-x)+\frac{17}{3} C_A C_F \delta (1-x)+8 \zeta (2) x C_A C_F-\frac{8 \zeta (2) C_A C_F}{x+1}-16 \zeta (2) \left(\frac{1}{1-x}\right)_+ C_A C_F-24 \zeta (3) C_A C_F \delta (1-x)-\frac{892}{9} x C_A C_F+\frac{536}{9} \left(\frac{1}{1-x}\right)_+ C_A C_F+\frac{4 C_A C_F \log ^2(x)}{1-x}+\frac{4 C_A C_F \log ^2(x)}{x+1}+\frac{4}{3} C_A C_F \log (x)+\frac{4}{3} x C_A C_F \log (x)+\frac{88 C_A C_F \log (x)}{3 (1-x)}-\frac{16 C_A C_F \log (x) \log (x+1)}{x+1}+\frac{356 C_A C_F}{9}-\frac{8 x^2 C_F N_f \log (x)}{3 (1-x)}-\frac{16}{3} \zeta (2) C_F N_f \delta (1-x)-\frac{2}{3} C_F N_f \delta (1-x)+\frac{88}{9} x C_F N_f-\frac{80}{9} \left(\frac{1}{1-x}\right)_+ C_F N_f-\frac{8 C_F N_f \log (x)}{3 (1-x)}-\frac{8 C_F N_f}{9}+\frac{32 x^2 C_F^2 \;\text{Li}_2(-x)}{x+1}+\frac{32 C_F^2 \;\text{Li}_2(-x)}{x+1}+\frac{16 \zeta (2) x^2 C_F^2}{x+1}-\frac{8 x^2 C_F^2 \log ^2(x)}{x+1}-\frac{16 x^2 C_F^2 \log (1-x) \log (x)}{1-x}+\frac{32 x^2 C_F^2 \log (x) \log (x+1)}{x+1}-24 \zeta (2) C_F^2 \delta (1-x)+3 C_F^2 \delta (1-x)+\frac{16 \zeta (2) C_F^2}{x+1}+48 \zeta (3) C_F^2 \delta (1-x)+72 x C_F^2-4 x C_F^2 \log ^2(x)-\frac{8 C_F^2 \log ^2(x)}{x+1}-4 C_F^2 \log ^2(x)-32 x C_F^2 \log (x)-\frac{16 C_F^2 \log (1-x) \log (x)}{1-x}-\frac{24 C_F^2 \log (x)}{1-x}-16 C_F^2 \log (x)+\frac{32 C_F^2 \log (x) \log (x+1)}{x+1}-72 C_F^2 8 ζ ( 2 ) C A C F − x + 1 16 x 2 C A C F Li 2 ( − x ) − x + 1 16 C A C F Li 2 ( − x ) − x + 1 8 ζ ( 2 ) x 2 C A C F + 1 − x 4 x 2 C A C F log 2 ( x ) + x + 1 4 x 2 C A C F log 2 ( x ) − x + 1 16 x 2 C A C F log ( x ) log ( x + 1 ) + 3 88 ζ ( 2 ) C A C F δ ( 1 − x ) + 3 17 C A C F δ ( 1 − x ) + 8 ζ ( 2 ) x C A C F − x + 1 8 ζ ( 2 ) C A C F − 16 ζ ( 2 ) ( 1 − x 1 ) + C A C F − 24 ζ ( 3 ) C A C F δ ( 1 − x ) − 9 892 x C A C F + 9 536 ( 1 − x 1 ) + C A C F + 1 − x 4 C A C F log 2 ( x ) + x + 1 4 C A C F log 2 ( x ) + 3 4 C A C F log ( x ) + 3 4 x C A C F log ( x ) + 3 ( 1 − x ) 88 C A C F log ( x ) − x + 1 16 C A C F log ( x ) log ( x + 1 ) + 9 356 C A C F − 3 ( 1 − x ) 8 x 2 C F N f log ( x ) − 3 16 ζ ( 2 ) C F N f δ ( 1 − x ) − 3 2 C F N f δ ( 1 − x ) + 9 88 x C F N f − 9 80 ( 1 − x 1 ) + C F N f − 3 ( 1 − x ) 8 C F N f log ( x ) − 9 8 C F N f + x + 1 32 x 2 C F 2 Li 2 ( − x ) + x + 1 32 C F 2 Li 2 ( − x ) + x + 1 16 ζ ( 2 ) x 2 C F 2 − x + 1 8 x 2 C F 2 log 2 ( x ) − 1 − x 16 x 2 C F 2 log ( 1 − x ) log ( x ) + x + 1 32 x 2 C F 2 log ( x ) log ( x + 1 ) − 24 ζ ( 2 ) C F 2 δ ( 1 − x ) + 3 C F 2 δ ( 1 − x ) + x + 1 16 ζ ( 2 ) C F 2 + 48 ζ ( 3 ) C F 2 δ ( 1 − x ) + 72 x C F 2 − 4 x C F 2 log 2 ( x ) − x + 1 8 C F 2 log 2 ( x ) − 4 C F 2 log 2 ( x ) − 32 x C F 2 log ( x ) − 1 − x 16 C F 2 log ( 1 − x ) log ( x ) − 1 − x 24 C F 2 log ( x ) − 16 C F 2 log ( x ) + x + 1 32 C F 2 log ( x ) log ( x + 1 ) − 72 C F 2
Integrate2[ t , { x , 0 , 1 }] // Timing
{ 0.040008 , 0 } \{0.040008,0\} { 0.040008 , 0 }
Expanding t
with respect to x
yields a form already suitable for Integrate3
and therefore the following is faster:
Integrate3[ Expand [ t , x ], { x , 0 , 1 }] // Expand // Timing
{ 0.018181 , 0 } \{0.018181,0\} { 0.018181 , 0 }
Clear [ t ] ;
Integrate2[ DeltaFunction[ 1 - x ] f [ x ], { x , 0 , 1 }]
f ( 1 ) f(1) f ( 1 )
Integrate2[ x ^ 5 Log [ 1 + x ] ^ 2 , { x , 0 , 1 }]
N [ % ]
46 log ( 2 ) 45 − 6959 10800 \frac{46 \log (2)}{45}-\frac{6959}{10800} 45 46 log ( 2 ) − 10800 6959
0.0641986 0.0641986 0.0641986
NIntegrate [ x ^ 5 Log [ 1 + x ] ^ 2 , { x , 0 , 1 }]
0.0641986 0.0641986 0.0641986
Integrate2[ x ^ (OPEm - 1 ) Log [ 1 + x ] ^ 2 , { x , 0 , 1 }]
− 2 ( − 1 ) m S 1 2 ( m ) m + ( − 1 ) m S 1 ( m − 1 2 ) S 1 ( m ) m − S 1 ( m − 1 2 ) S 1 ( m ) m + ( − 1 ) m S 1 ( m 2 ) S 1 ( m ) m + S 1 ( m 2 ) S 1 ( m ) m + ( − 1 ) m S 2 ( m − 1 2 ) 2 m − S 2 ( m − 1 2 ) 2 m + ( − 1 ) m S 2 ( m 2 ) 2 m + S 2 ( m 2 ) 2 m − 2 ( − 1 ) m S 2 ( m ) m − 2 ( − 1 ) m S − 11 ( m ) m + 4 ( − 1 ) m log ( 2 ) S 1 ( m ) m − ( − 1 ) m log ( 2 ) S 1 ( m − 1 2 ) m + log ( 2 ) S 1 ( m − 1 2 ) m − ( − 1 ) m log ( 2 ) S 1 ( m 2 ) m − log ( 2 ) S 1 ( m 2 ) m − ( − 1 ) m log 2 ( 2 ) m + log 2 ( 2 ) m -\frac{2 (-1)^m S_1^2(m)}{m}+\frac{(-1)^m S_1\left(\frac{m-1}{2}\right) S_1(m)}{m}-\frac{S_1\left(\frac{m-1}{2}\right) S_1(m)}{m}+\frac{(-1)^m S_1\left(\frac{m}{2}\right) S_1(m)}{m}+\frac{S_1\left(\frac{m}{2}\right) S_1(m)}{m}+\frac{(-1)^m S_2\left(\frac{m-1}{2}\right)}{2 m}-\frac{S_2\left(\frac{m-1}{2}\right)}{2 m}+\frac{(-1)^m S_2\left(\frac{m}{2}\right)}{2 m}+\frac{S_2\left(\frac{m}{2}\right)}{2 m}-\frac{2 (-1)^m S_2(m)}{m}-\frac{2 (-1)^m S_{-11}(m)}{m}+\frac{4 (-1)^m \log (2) S_1(m)}{m}-\frac{(-1)^m \log (2) S_1\left(\frac{m-1}{2}\right)}{m}+\frac{\log (2) S_1\left(\frac{m-1}{2}\right)}{m}-\frac{(-1)^m \log (2) S_1\left(\frac{m}{2}\right)}{m}-\frac{\log (2) S_1\left(\frac{m}{2}\right)}{m}-\frac{(-1)^m \log ^2(2)}{m}+\frac{\log ^2(2)}{m} − m 2 ( − 1 ) m S 1 2 ( m ) + m ( − 1 ) m S 1 ( 2 m − 1 ) S 1 ( m ) − m S 1 ( 2 m − 1 ) S 1 ( m ) + m ( − 1 ) m S 1 ( 2 m ) S 1 ( m ) + m S 1 ( 2 m ) S 1 ( m ) + 2 m ( − 1 ) m S 2 ( 2 m − 1 ) − 2 m S 2 ( 2 m − 1 ) + 2 m ( − 1 ) m S 2 ( 2 m ) + 2 m S 2 ( 2 m ) − m 2 ( − 1 ) m S 2 ( m ) − m 2 ( − 1 ) m S − 11 ( m ) + m 4 ( − 1 ) m log ( 2 ) S 1 ( m ) − m ( − 1 ) m log ( 2 ) S 1 ( 2 m − 1 ) + m log ( 2 ) S 1 ( 2 m − 1 ) − m ( − 1 ) m log ( 2 ) S 1 ( 2 m ) − m log ( 2 ) S 1 ( 2 m ) − m ( − 1 ) m log 2 ( 2 ) + m log 2 ( 2 )